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content/post/STU_2025_12_16_13/index.md

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+date = '2025-12-16T13:53:24+08:00'
+draft = false
+title = '3 – 数院人的一天'
+tags = ['数学分析']
+categories = 'math'
+description = '我是数院的，数学再差也是数院的。'
++++
+今日习题：来自《数学分析》上册 习题7.1 微分中值定理 与 习题7.2 L'Hôpital法则。  
+没错，我做了3天习题7.2😭
+
+## 题目描述
+已知$f$在$[a,+\infty)$上可微，且
+\[
+|f'(x)|≤M|f(x)|,f(a)=0,M>0,\forall x\in[a,+\infty)
+\]
+证明：在$[a,+\infty)$上$f(x)\equiv0$。
+
+## 解答1（构造函数）
+构造：
+\[
+g(x) = e^{-2Mx} f(x)^2
+\]
+求导：
+\[
+\begin{align}
+g'(x)&= -2M e^{-2Mx} f(x)^2 + e^{-2Mx} \cdot 2f(x)f'(x)\\
+&= 2 e^{-2Mx} \big[ f(x) f'(x) - M f(x)^2 \big]
+\end{align}
+\]
+题目已知：
+\[
+|f'(x)| \le M |f(x)|.\\
+\Rightarrow |f(x) f'(x)| = |f(x)| \cdot |f'(x)| \le |f(x)| \cdot M |f(x)| = M f(x)^2.\\
+\Rightarrow -M f(x)^2 \le f(x) f'(x) \le M f(x)^2.
+\]
+（注意 \( f(x)^2 = |f(x)|^2 \)。）  
+于是：
+\[
+f(x) f'(x) - M f(x)^2 \le 0\\
+g'(x)≤0
+\]
+由$g(x)$形式得：$g(x)≥0$，而$g(a)=0\Rightarrow g(x)\equiv0\Rightarrow f(x)\equiv0$。  
+> 注：这是处理高阶微分不等式的**构造能量函数**方法。  
+> $$E(x) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k [f^{(k)}(x)]^2,a_k > 0$$
+## 解答2（Lagrange中值定理）
+先证$f\equiv0,x\in[a,x+\frac{1}{2M}]$：  
+在\([a, x]\) 上用 Lagrange 中值定理：  
+存在 \(\xi_1\in(a,x)\) 使得：
+\[
+f(x) - f(a) =f(x)= f'(\xi_1)(x-a)
+\]
+那么：
+\[
+|f(x)| \le |f'(\xi_1)|(x-a) \le M |f(\xi_1)| (x-a)≤\frac{|f(\xi_1)|}{2}
+\]
+再在\([a, \xi_1]\) 上用 Lagrange 中值定理：  
+同理可得：$\exists\xi_2\in(a,\xi_1)$：
+\[
+|f(\xi_1)| \le |f'(\xi_2)|(\xi_1-a) \le M |f(\xi_2)| (\xi_1-a)<\frac{|f(\xi_2)|}{2}
+\]
+则：
+\[
+|f(x)|≤\lim_{n\to+\infty}\frac{|f(\xi_n)|}{2^n}
+\]
+易知$|f(\xi_n)|$有界，则上述极限为0，$f\equiv0,x\in[a,a+\frac{1}{2M}]$得证，后续同理可证。
+
+## 注
+都不是我想出来的。