添加slug，改版文章目录命名结构，添加了一个实用的新建文章Shell脚本。

content/post/STU_2025_12_17_17/index.md

@@ -0,0 +1,58 @@
++++
+date = '2025-12-17T17:29:22+08:00'
+draft = false
+title = '4 – 数院人的一天'
+tags = ['数学分析']
+categories = 'math'
+description = '我是数院的，数院的数学应该不差才对。'
++++
+
+今天习题来自数学分析I 习题7.3 Taylor展开式。
+## 题目描述
+设函数$y=f(x)$在$x=0$处有五阶导数,其满足$x=y-3y^3+5y^5+o(y^5)(y\to0),f(0)=0$.求$f(x)$带Peano型余项的五阶Maclaurin展开式.
+
+## 解答（待定系数法）
+由 \( x = f^{-1}(y) = y - 3y^3 + 5y^5 + o(y^5) \)得：
+\[
+x = f(x) - 3f(x)^3 + 5f(x)^5 + o(f(x)^5)
+\]
+在 \( x \to 0 \) 时 \( f(x) \to 0 \)，则$o(f(x)^5)=o(x^5)$。  
+待定系数法设：
+\[
+f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + o(x^5), \\ a_0 = 0, a_1 = f'(0) = \frac{1}{f'^{-1}(0)}=1
+\]
+所以：
+$$
+\begin{align}
+f(x) &= x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + o(x^5)\\
+f^3(x)&=x^3+3a_2x^4+3(a_2+a_3)x^5+o(x^5)\\
+f^5(x)&=x^5+o(x^5)
+\end{align}
+$$
+代入方程$x = f(x) - 3f^3(x) + 5f^5(x) + o(x^5)$：
+$$
+\begin{align}
+x&=x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5-3(x^3+3a_2x^4+3(a_2+a_3)x^5+)+5x^5+o(x^5)\\
+0&=a_2 x^2+(a_3-3)x^3+(a_4-9a_2)x^4+(a_5-9(a_2+a_3)+5)x^5+o(x^5)
+\end{align}
+$$
+也就是：
+$$
+\begin{cases}
+a_2=0\\
+a_3-3=0\\
+a_4-9a_2=0\\
+a_5-9(a_2+a_3)+5=0
+\end{cases}
+$$
+因此：
+\[
+a_2 = 0, \quad a_3 = 3, \quad a_4 = 0, \quad a_5 = 22
+\]
+所以：
+\[
+f(x) = x + 3x^3 + 22x^5 + o(x^5)
+\]
+
+## 注
+反函数求导只有一阶导有公式。