添加slug，改版文章目录命名结构，添加了一个实用的新建文章Shell脚本。

content/post/STU_2025_12_29_16/index.md

@@ -0,0 +1,127 @@
++++
+date = '2025-12-29T16:26:09+08:00'
+draft = false
+title = '6 – 数院人的一天'
+tags = ['高等代数']
+categories = 'math'
+description = '高等代数I备考。'
++++
+详见王立中老师于2025年12月11日上午8:00–10:10的高等代数I课堂。
+## 关于“零化矩阵”
+给定域$F[x]$，设该域上首项系数为1的多项式：$$
+f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0
+$$
+设n×n矩阵：$$
+\mathbf{A}=
+\begin{pmatrix}
+0&0&\cdots&0&-a_0\\
+1&0&\cdots&0&-a_1\\
+0&1&\cdots&0&-a_2\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
+0&0&\cdots&1&-a_{n-1}
+\end{pmatrix}
+$$
+且记$\mathbf{A}^0=\mathbf{E}_{n\times n}$，
+
+设一系列n×1矩阵：（其中$\alpha_i$为从上往下第i个位置为1，其他位置为0的矩阵）$$
+\alpha_1=\begin{pmatrix}
+1\\
+0\\
+0\\
+\vdots\\
+0
+\end{pmatrix},\cdots,\alpha_i=\begin{pmatrix}
+0\\
+\vdots\\
+1\\
+\vdots\\
+0
+\end{pmatrix},\alpha_n=\begin{pmatrix}
+0\\
+0\\
+0\\
+\vdots\\
+1
+\end{pmatrix}
+$$
+则$\mathbf{A}^0\alpha_1=\alpha_1,\mathbf{A}\alpha_1=\alpha_2,\mathbf{A}^2\alpha_1=\alpha_3,\cdots,\mathbf{A}^{n-1}\alpha_1=\alpha_n$。  
+而$$\mathbf{A}^n\alpha_1=\begin{pmatrix}
+-a_0\\
+-a_1\\
+-a_2\\
+\vdots\\
+-a_{n-1}
+\end{pmatrix}$$
+则：$$
+\mathbf{A}^n\alpha_1=-a_0\mathbf{A}^0\alpha_1-a_1\mathbf{A}\alpha_1-a_2\mathbf{A}^2\alpha_1-\cdots-a_{n-1}\mathbf{A}^{n-1}\alpha_1\\
+\mathbf{A}^n\alpha_1+a_{n-1}\mathbf{A}^{n-1}\alpha_1+\cdots+a_2\mathbf{A}^2\alpha_1+a_1\mathbf{A}\alpha_1+a_0\mathbf{A}^0\alpha_1=0
+$$
+也就是$f(\mathbf{A})\alpha_1=0$。  
+再左乘i个$\mathbf{A}$：$$
+\mathbf{A}^if(\mathbf{A})\alpha_1=0
+$$
+易知此处可交换：
+$$
+\begin{align*}
+f(\mathbf{A})\mathbf{A}^i\alpha_1=&0\\
+f(\mathbf{A})\alpha_{1+i}=&0
+\end{align*}
+$$
+i从0取到n-1：$$
+\begin{align*}
+f(\mathbf{A})\alpha_1&=0\\
+f(\mathbf{A})\alpha_2&=0\\
+\cdots&=0\\
+f(\mathbf{A})\alpha_n&=0\\
+\end{align*}
+$$
+这表明$f(\mathbf{A})=0$。
+
+## 题目描述
+已知$f(x)$是域$F[x]$上的$n$元多项式与一个$n\times n$方阵$\mathbf{A}$，满足$f(\mathbf{A})=0$。  
+若域$F[x]$上多项式$g(x)$满足$g(\mathbf{A})=0$，证明：$f(x)|g(x)$。
+## 解答
+设：$$
+g(x)=f(x)h(x)+r(x)
+$$
+代入$\mathbf{A}$：$$
+\begin{align*}
+g(\mathbf{A})&=f(\mathbf{A})h(\mathbf{A})+r(\mathbf{A})\\
+0&=r(\mathbf{A})
+\end{align*}
+$$
+设$r(x)=b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0$，  
+则$$
+r(\mathbf{A})=0=b_{n-1}\mathbf{A}^{n-1}+\cdots+b_0
+$$
+同时右乘一个$$\alpha_1=\begin{pmatrix}
+1\\
+0\\
+\vdots\\
+0
+\end{pmatrix}_{n\times1}$$则得到：
+$$
+\begin{pmatrix}
+0\\
+0\\
+\vdots\\
+0
+\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+0\\
+0\\
+\vdots\\
+b_{n-1}
+\end{pmatrix}+\cdots+\begin{pmatrix}
+b_0\\
+0\\
+\vdots\\
+0
+\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+b_0\\
+b_1\\
+\vdots\\
+b_{n-1}
+\end{pmatrix}
+$$
+也就是$b_{n-1}=\cdots=b_0\Rightarrow r(x)=0$  
+则得证。