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date = '2025-12-16T13:53:24+08:00'
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title = '3 – 数院人的一天'
tags = ['数学分析']
categories = 'math'
description = '我是数院的，数学再差也是数院的。'
slug = '006'
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今日习题：来自《数学分析》上册 习题7.1 微分中值定理 与 习题7.2 L'Hôpital法则。  
没错，我做了3天习题7.2😭

## 题目描述
已知$f$在$[a,+\infty)$上可微，且
\[
|f'(x)|≤M|f(x)|,f(a)=0,M>0,\forall x\in[a,+\infty)
\]
证明：在$[a,+\infty)$上$f(x)\equiv0$。

## 解答1（构造函数）
构造：
\[
g(x) = e^{-2Mx} f(x)^2
\]
求导：
\[
\begin{align}
g'(x)&= -2M e^{-2Mx} f(x)^2 + e^{-2Mx} \cdot 2f(x)f'(x)\\
&= 2 e^{-2Mx} \big[ f(x) f'(x) - M f(x)^2 \big]
\end{align}
\]
题目已知：
\[
|f'(x)| \le M |f(x)|.\\
\Rightarrow |f(x) f'(x)| = |f(x)| \cdot |f'(x)| \le |f(x)| \cdot M |f(x)| = M f(x)^2.\\
\Rightarrow -M f(x)^2 \le f(x) f'(x) \le M f(x)^2.
\]
（注意 \( f(x)^2 = |f(x)|^2 \)。）  
于是：
\[
f(x) f'(x) - M f(x)^2 \le 0\\
g'(x)≤0
\]
由$g(x)$形式得：$g(x)≥0$，而$g(a)=0\Rightarrow g(x)\equiv0\Rightarrow f(x)\equiv0$。  
> 注：这是处理高阶微分不等式的**构造能量函数**方法。  
> $$E(x) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k [f^{(k)}(x)]^2,a_k > 0$$
## 解答2（Lagrange中值定理）
先证$f\equiv0,x\in[a,x+\frac{1}{2M}]$：  
在\([a, x]\) 上用 Lagrange 中值定理：  
存在 \(\xi_1\in(a,x)\) 使得：
\[
f(x) - f(a) =f(x)= f'(\xi_1)(x-a)
\]
那么：
\[
|f(x)| \le |f'(\xi_1)|(x-a) \le M |f(\xi_1)| (x-a)≤\frac{|f(\xi_1)|}{2}
\]
再在\([a, \xi_1]\) 上用 Lagrange 中值定理：  
同理可得：$\exists\xi_2\in(a,\xi_1)$：
\[
|f(\xi_1)| \le |f'(\xi_2)|(\xi_1-a) \le M |f(\xi_2)| (\xi_1-a)<\frac{|f(\xi_2)|}{2}
\]
则：
\[
|f(x)|≤\lim_{n\to+\infty}\frac{|f(\xi_n)|}{2^n}
\]
易知$|f(\xi_n)|$有界，则上述极限为0，$f\equiv0,x\in[a,a+\frac{1}{2M}]$得证，后续同理可证。

## 注
都不是我想出来的。