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date = '2025-12-14T22:57:50+08:00'
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title = '1 – 数院人的一天'
tags = ['数学分析']
categories = 'math'
description = '我是数院的，数学再差也是数院的。'
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今日习题：来自《数学分析》上册 习题7.2 L'Hôpital法则。
## 题目描述
求极限：$\lim_{x\to0}\frac{x\cot x-1}{x^2}$。
## 解答
\[
\begin{align}
\lim_{x\to0}\frac{x\cot x-1}{x^2}&=\lim_{x\to0}\frac{x\cos x-\sin x}{x^2\sin x}\\
&=\lim_{x\to0}\frac{x\cos x-\sin x}{x^3\frac{\sin x}x}\\
&=\lim_{x\to0}\frac{x\cos x-\sin x}{x^3}\\
&=\lim_{x\to0}\frac{-x\sin x}{3x^2}\\
&=\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{3x}\\
&=-\frac{1}3
\end{align}
\]
## 注
纯用L'Hôpital，不用Taylor展开。