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date = '2026-01-03T22:21:11+08:00'
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title = '7 – 数院人的一天'
tags = ['数学分析']
categories = 'math'
description = '我是数院的，数院的数学应该不差才对。'
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今日题目出自数学分析I 第七章 微分中值定理。
## 命题7.5.7
已知函数$f(x)$在区间$I$上有定义，则$f(x)$为$I$上的中点凸函数的充要条件为：$$
f(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n})≤\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n},\forall x_1,\cdots,x_n\in I.
$$

## 证明
后者证前者：易证，只需要取$n=2$。  
前者证后者：  
由中点凸函数定义：$$
f(\frac{x_1+x_2}{2})≤\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},\forall x_1,x_2\in I.
$$
数学归纳法：若$f(\frac{x_1+\cdots+x_{2^k}}{2^k})≤\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_{2^k})}{2^k},\forall x_1,\cdots,x_{2^k}\in I,k≥1$成立，现证明该式也成立：$$f(\frac{x_1+\cdots+x_{2^{k+1}}}{2^{k+1}})≤\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_{2^{k+1}})}{2^{k+1}},\forall x_1,\cdots,x_{2^{k+1}}\in I.$$
证明：  
$$
\begin{align*}
f(\frac{x_1+\cdots+x_{2^{k+1}}}{2^{k+1}})&=f(\frac{\frac{x_1+\cdots+x_{2^{k}}}{2^{k}}+\frac{x_{2^k+1}+\cdots+x_{2^{k+1}}}{2^{k}}}{2})\\
（使用定义式）&≤\frac{f(\frac{x_1+\cdots+x_{2^{k+1}}}{2^{k}})+f(\frac{x_{2^k+1}+\cdots+x_{2^{k+1}}}{2^{k}})}{2}\\
&≤\frac{\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_{2^k})}{2^k}+\frac{f(x_{2^k+1})+\cdots+f(x_{2^{k+1}})}{2^k}}{2}\\
&=\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_{2^{k+1}})}{2^{k+1}}
\end{align*}
$$
则得证。  
即：$$
f(\frac{x_1+\cdots+x_{2^k}}{2^k})≤\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_{2^k})}{2^k},\forall x_1,\cdots,x_{2^k}\in I,k≥1
$$
任取$k≥1$，令$m=2^k$，则有：$$
f(\frac{x_1+\cdots+x_m}{m})≤\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_m)}{m},\forall x_1,\cdots,x_m\in I,m≥2
$$成立。  
现证：$$
f(\frac{x_1+\cdots+x_{m-1}}{m-1})≤\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_{m-1})}{m-1},\forall x_1,\cdots,x_{m-1}\in I.
$$
证明：取$x_m=\frac{x_1+\cdots+x_{m-1}}{m-1}$：  
则已知式化为：
$$
\begin{align*}
f(\frac{x_1+\cdots+x_m}{m})&=f(\frac{x_1+\cdots+x_{m-1}}{m-1})\\
&≤\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_{m-1})+f(\frac{x_1+\cdots+x_{m-1}}{m-1})}{m}\\
\frac{m-1}{m}f(\frac{x_1+\cdots+x_{m-1}}{m-1})&≤\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_{m-1})}{m}\\
f(\frac{x_1+\cdots+x_{m-1}}{m-1})&≤\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_{m-1})}{m-1}
\end{align*}
$$
则得证。  
则反向数学归纳法得：$$
f(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n})≤\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n},\forall x_1,\cdots,x_n\in I.
$$成立。  
综上，原命题得证。