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+++ date = '2025-12-18T20:20:15+08:00' draft = false title = '5 – 数院人的一天' tags = ['高等代数'] categories = 'math' description = '我是数院的，数院的数学应该不差才对。' slug = '009' +++ 今天习题来自高等代数I 第一章 多项式。
题目描述
判断$f(x) = x^p + p x + 1$（$p$为奇素数）是否在$\mathbb{Q}$上可约。
解答
先用有理根定理尝试：设有理根为既约真分数\frac{p}{q}
a_0=a_p=1\Rightarrow p=±1,q=±1,\frac{p}{q}=±1
代入1或-1：得到2+p或-p，显然不为0。
有理根定理：设多项式：$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$，
其中所有 (a_i \in \mathbb{Z})，(a_n \neq 0)，(a_0 \neq 0)。 如果 (f(x)) 有一个有理根：既约真分数(\frac{p}{q})，则：
- (p \mid a_0)（分子 (p) 整除常数项）；
- (q \mid a_n)（分母 (q) 整除首项系数）。
再尝试：艾森斯坦条件：
$a_0=a_n=1\Rightarrow$没有素数既整除$a_0$，又不整除$a_n$。（况且没有素数整除1）
艾森斯坦条件：（多项式不可约的充分而非必要条件）
存在素数 (p) 满足：
- (p \mid a_i) 对所有 (i = 0,1,\dots,n-1) 成立（即 (p) 整除所有低次项系数）；
- (p \nmid a_n)（(p) 不整除首项系数）；
- (p^2 \nmid a_0)（(p^2) 不整除常数项）；
(\Rightarrow f(x)) 在 (\mathbb{Q}) 上不可约。
进一步：平移艾森斯坦条件：
原方程用$x-1$代换$x$：
[x^p-C_p^1x^{p-1}+C_p^2x^{p-2}+\cdots+[(-1)^{p-1}C_p^{p-1}+p]x+(-1)^{p}-p+1]
即$x^p-C_p^1x^{p-1}+C_p^2x^{p-2}+\cdots+2px-p$。
显然$p$于该式满足艾森斯坦三个条件$\Rightarrow$原多项式不可约。
注
判断多项式是否可约：先试有理根定理，再用艾森斯坦条件，接着尝试平移艾森斯坦条件，最后模约化法。
模约化法：若对某个素数 (p \nmid a_n)，将系数模 (p) 得到 (\bar{f}(x) \in \mathbb{F}_p[x])，
若 (\bar{f}(x)) 在 (\mathbb{F}_p) 上不可约，则原多项式 (f(x)) 在 (\mathbb{Z}[x]) 上不可约 ⇒ 在 (\mathbb{Q}) 上不可约。