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date = '2025-12-16T13:53:24+08:00'
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title = '3 – 数院人的一天'
tags = ['数学分析']
categories = 'math'
description = '我是数院的，数学再差也是数院的。'
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今日习题：来自《数学分析》上册 习题7.1 微分中值定理 与 习题7.2 L'Hôpital法则。
没错，我做了3天习题7.2😭
题目描述
已知$f$在$[a,+\infty)$上可微，且 [ |f'(x)|≤M|f(x)|,f(a)=0,M>0,\forall x\in[a,+\infty) ] 证明：在$[a,+\infty)$上$f(x)\equiv0$。
解答1（构造函数）
构造：
[
g(x) = e^{-2Mx} f(x)^2
]
求导：
[
\begin{align}
g'(x)&= -2M e^{-2Mx} f(x)^2 + e^{-2Mx} \cdot 2f(x)f'(x)\
&= 2 e^{-2Mx} \big[ f(x) f'(x) - M f(x)^2 \big]
\end{align}
]
题目已知：
[
|f'(x)| \le M |f(x)|.\
\Rightarrow |f(x) f'(x)| = |f(x)| \cdot |f'(x)| \le |f(x)| \cdot M |f(x)| = M f(x)^2.\
\Rightarrow -M f(x)^2 \le f(x) f'(x) \le M f(x)^2.
]
（注意 ( f(x)^2 = |f(x)|^2 )。）
于是：
[
f(x) f'(x) - M f(x)^2 \le 0\
g'(x)≤0
]
由$g(x)$形式得：$g(x)≥0$，而$g(a)=0\Rightarrow g(x)\equiv0\Rightarrow f(x)\equiv0$。
注：这是处理高阶微分不等式的构造能量函数方法。
E(x) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k [f^{(k)}(x)]^2,a_k > 0
解答2（Lagrange中值定理）
先证$f\equiv0,x\in[a,x+\frac{1}{2M}]$：
在([a, x]) 上用 Lagrange 中值定理：
存在 (\xi_1\in(a,x)) 使得：
[
f(x) - f(a) =f(x)= f'(\xi_1)(x-a)
]
那么：
[
|f(x)| \le |f'(\xi_1)|(x-a) \le M |f(\xi_1)| (x-a)≤\frac{|f(\xi_1)|}{2}
]
再在([a, \xi_1]) 上用 Lagrange 中值定理：
同理可得：$\exists\xi_2\in(a,\xi_1)$：
[
|f(\xi_1)| \le |f'(\xi_2)|(\xi_1-a) \le M |f(\xi_2)| (\xi_1-a)<\frac{|f(\xi_2)|}{2}
]
则：
[
|f(x)|≤\lim_{n\to+\infty}\frac{|f(\xi_n)|}{2^n}
]
易知$|f(\xi_n)|$有界，则上述极限为0，$f\equiv0,x\in[a,a+\frac{1}{2M}]$得证，后续同理可证。
注
都不是我想出来的。