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+++ date = '2025-12-29T16:26:09+08:00' draft = false title = '6 – 数院人的一天' tags = ['高等代数'] categories = 'math' description = '高等代数I备考。' +++ 详见王立中老师于2025年12月11日上午8:00–10:10的高等代数I课堂。
关于“零化矩阵”
给定域$F[x]，设该域上首项系数为1的多项式：$
f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0
设n×n矩阵：$$
\mathbf{A}=
\begin{pmatrix}
0&0&\cdots&0&-a_0\\
1&0&\cdots&0&-a_1\\
0&1&\cdots&0&-a_2\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots&1&-a_{n-1}
\end{pmatrix}
且记$\mathbf{A}^0=\mathbf{E}_{n\times n}$，
设一系列n×1矩阵：（其中$\alpha_i$为从上往下第i个位置为1，其他位置为0的矩阵）$$ \alpha_1=\begin{pmatrix} 1\ 0\ 0\ \vdots\ 0 \end{pmatrix},\cdots,\alpha_i=\begin{pmatrix} 0\ \vdots\ 1\ \vdots\ 0 \end{pmatrix},\alpha_n=\begin{pmatrix} 0\ 0\ 0\ \vdots\ 1 \end{pmatrix}
则$\mathbf{A}^0\alpha_1=\alpha_1,\mathbf{A}\alpha_1=\alpha_2,\mathbf{A}^2\alpha_1=\alpha_3,\cdots,\mathbf{A}^{n-1}\alpha_1=\alpha_n$。
而$$\mathbf{A}^n\alpha_1=\begin{pmatrix}
-a_0\\
-a_1\\
-a_2\\
\vdots\\
-a_{n-1}
\end{pmatrix}$$
则：$$
\mathbf{A}^n\alpha_1=-a_0\mathbf{A}^0\alpha_1-a_1\mathbf{A}\alpha_1-a_2\mathbf{A}^2\alpha_1-\cdots-a_{n-1}\mathbf{A}^{n-1}\alpha_1\\
\mathbf{A}^n\alpha_1+a_{n-1}\mathbf{A}^{n-1}\alpha_1+\cdots+a_2\mathbf{A}^2\alpha_1+a_1\mathbf{A}\alpha_1+a_0\mathbf{A}^0\alpha_1=0
也就是$f(\mathbf{A})\alpha_1=0$。
再左乘i个$\mathbf{A}：$
\mathbf{A}^if(\mathbf{A})\alpha_1=0
易知此处可交换：
\begin{align*} f(\mathbf{A})\mathbf{A}^i\alpha_1=&0\ f(\mathbf{A})\alpha_{1+i}=&0 \end{align*}
i从0取到n-1：$$
\begin{align*}
f(\mathbf{A})\alpha_1&=0\\
f(\mathbf{A})\alpha_2&=0\\
\cdots&=0\\
f(\mathbf{A})\alpha_n&=0\\
\end{align*}
这表明$f(\mathbf{A})=0$。
题目描述
已知$f(x)$是域$F[x]$上的$n$元多项式与一个$n\times n$方阵$\mathbf{A}$，满足$f(\mathbf{A})=0$。
若域$F[x]$上多项式$g(x)$满足$g(\mathbf{A})=0$，证明：$f(x)|g(x)$。
解答
设：$$ g(x)=f(x)h(x)+r(x)
代入$\mathbf{A}$：$$
\begin{align*}
g(\mathbf{A})&=f(\mathbf{A})h(\mathbf{A})+r(\mathbf{A})\\
0&=r(\mathbf{A})
\end{align*}
设$r(x)=b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0$，
则$$
r(\mathbf{A})=0=b_{n-1}\mathbf{A}^{n-1}+\cdots+b_0
同时右乘一个$$\alpha_1=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}_{n\times1}$$则得到：
\begin{pmatrix} 0\ 0\ \vdots\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\ 0\ \vdots\ b_{n-1} \end{pmatrix}+\cdots+\begin{pmatrix} b_0\ 0\ \vdots\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_0\ b_1\ \vdots\ b_{n-1} \end{pmatrix}
也就是$b_{n-1}=\cdots=b_0\Rightarrow r(x)=0$
则得证。