701 B
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+++ date = '2025-12-14T22:57:50+08:00' draft = false title = '1 – 数院人的一天' tags = ['数学分析'] categories = 'math' description = '我是数院的，数学再差也是数院的。' +++ 今日习题：来自《数学分析》上册 习题7.2 L'Hôpital法则。
题目描述
求极限：$\lim_{x\to0}\frac{x\cot x-1}{x^2}$。
解答
[ \begin{align} \lim_{x\to0}\frac{x\cot x-1}{x^2}&=\lim_{x\to0}\frac{x\cos x-\sin x}{x^2\sin x}\ &=\lim_{x\to0}\frac{x\cos x-\sin x}{x^3\frac{\sin x}x}\ &=\lim_{x\to0}\frac{x\cos x-\sin x}{x^3}\ &=\lim_{x\to0}\frac{-x\sin x}{3x^2}\ &=\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{3x}\ &=-\frac{1}3 \end{align} ]
注
纯用L'Hôpital，不用Taylor展开。