Cirrus83
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date = '2025-12-16T13:53:24+08:00'
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draft = false
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title = '3 – 数院人的一天'
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tags = ['数学分析']
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categories = 'math'
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description = '我是数院的，数学再差也是数院的。'
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今日习题：来自《数学分析》上册 习题7.1 微分中值定理 与 习题7.2 L'Hôpital法则。
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没错，我做了3天习题7.2😭
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## 题目描述
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已知$f$在$[a,+\infty)$上可微，且
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\[
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|f'(x)|≤M|f(x)|,f(a)=0,M>0,\forall x\in[a,+\infty)
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\]
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证明：在$[a,+\infty)$上$f(x)\equiv0$。
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## 解答1（构造函数）
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构造：
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\[
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g(x) = e^{-2Mx} f(x)^2
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\]
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求导：
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\[
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\begin{align}
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g'(x)&= -2M e^{-2Mx} f(x)^2 + e^{-2Mx} \cdot 2f(x)f'(x)\\
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&= 2 e^{-2Mx} \big[ f(x) f'(x) - M f(x)^2 \big]
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\end{align}
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\]
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题目已知：
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\[
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|f'(x)| \le M |f(x)|.\\
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\Rightarrow |f(x) f'(x)| = |f(x)| \cdot |f'(x)| \le |f(x)| \cdot M |f(x)| = M f(x)^2.\\
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\Rightarrow -M f(x)^2 \le f(x) f'(x) \le M f(x)^2.
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\]
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（注意 \( f(x)^2 = |f(x)|^2 \)。）
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于是：
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\[
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f(x) f'(x) - M f(x)^2 \le 0\\
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g'(x)≤0
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\]
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由$g(x)$形式得：$g(x)≥0$，而$g(a)=0\Rightarrow g(x)\equiv0\Rightarrow f(x)\equiv0$。
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> 注：这是处理高阶微分不等式的**构造能量函数**方法。
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> $$E(x) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k [f^{(k)}(x)]^2,a_k > 0$$
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## 解答2（Lagrange中值定理）
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先证$f\equiv0,x\in[a,x+\frac{1}{2M}]$：
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在\([a, x]\) 上用 Lagrange 中值定理：
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存在 \(\xi_1\in(a,x)\) 使得：
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\[
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f(x) - f(a) =f(x)= f'(\xi_1)(x-a)
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\]
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那么：
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\[
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|f(x)| \le |f'(\xi_1)|(x-a) \le M |f(\xi_1)| (x-a)≤\frac{|f(\xi_1)|}{2}
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\]
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再在\([a, \xi_1]\) 上用 Lagrange 中值定理：
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同理可得：$\exists\xi_2\in(a,\xi_1)$：
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\[
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|f(\xi_1)| \le |f'(\xi_2)|(\xi_1-a) \le M |f(\xi_2)| (\xi_1-a)<\frac{|f(\xi_2)|}{2}
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\]
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则：
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\[
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|f(x)|≤\lim_{n\to+\infty}\frac{|f(\xi_n)|}{2^n}
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\]
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易知$|f(\xi_n)|$有界，则上述极限为0，$f\equiv0,x\in[a,a+\frac{1}{2M}]$得证，后续同理可证。
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## 注
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都不是我想出来的。 |