Cirrus83
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date = '2025-12-18T20:20:15+08:00'
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draft = false
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title = '5 – 数院人的一天'
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tags = ['高等代数']
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categories = 'math'
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description = '我是数院的，数院的数学应该不差才对。'
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今天习题来自高等代数I 第一章 多项式。
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## 题目描述
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判断$f(x) = x^p + p x + 1$（$p$为奇素数）是否在$\mathbb{Q}$上可约。
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## 解答
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先用有理根定理尝试：设有理根为既约真分数$\frac{p}{q}$
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$$
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a_0=a_p=1\Rightarrow p=±1,q=±1,\frac{p}{q}=±1
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$$
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代入1或-1：得到2+p或-p，显然不为0。
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> **有理根定理**：设多项式：$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$，
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> 其中所有 \(a_i \in \mathbb{Z}\)，\(a_n \neq 0\)，\(a_0 \neq 0\)。
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> 如果 \(f(x)\) 有一个有理根：既约真分数\(\frac{p}{q}\)，则：
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> - \(p \mid a_0\)（分子 \(p\) 整除常数项）；
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> - \(q \mid a_n\)（分母 \(q\) 整除首项系数）。
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再尝试：艾森斯坦条件：
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$a_0=a_n=1\Rightarrow$没有素数既整除$a_0$，又不整除$a_n$。（况且没有素数整除1）
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> **艾森斯坦条件**：（多项式不可约的**充分而非必要**条件）
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> 存在素数 \(p\) 满足：
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> - \(p \mid a_i\) 对所有 \(i = 0,1,\dots,n-1\) 成立（即 \(p\) 整除所有低次项系数）；
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> - \(p \nmid a_n\)（\(p\) 不整除首项系数）；
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> - \(p^2 \nmid a_0\)（\(p^2\) 不整除常数项）；
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> \(\Rightarrow f(x)\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约。
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进一步：平移艾森斯坦条件：
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原方程用$x-1$代换$x$：
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\[x^p-C_p^1x^{p-1}+C_p^2x^{p-2}+\cdots+[(-1)^{p-1}C_p^{p-1}+p]x+(-1)^{p}-p+1\]
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即$x^p-C_p^1x^{p-1}+C_p^2x^{p-2}+\cdots+2px-p$。
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显然$p$于该式满足艾森斯坦三个条件$\Rightarrow$原多项式不可约。
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## 注
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判断多项式是否可约：先试有理根定理，再用艾森斯坦条件，接着尝试平移艾森斯坦条件，最后模约化法。
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> **模约化法**：若对某个素数 \(p \nmid a_n\)，将系数模 \(p\) 得到 \(\bar{f}(x) \in \mathbb{F}_p[x]\)，
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> 若 \(\bar{f}(x)\) 在 \(\mathbb{F}_p\) 上不可约，则原多项式 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{Z}[x]\) 上不可约 ⇒ 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约。 |